УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Сделаем еще одно замечание. Если а—корень, a— а не является корнем (в обычном смысле) нормализатора Р, то в силу предложения а), для S^P справедливо соотношение, {SaS} = 0, (43) если только SeP, так что S*sR. (44) Если хоть один корневой аффинор 5*, принадлежащий этому корню а, попадает в алгебру А, то, в силу (43), {SH} = 0 для любого ЛеЛ, т. е. одновременно S^F. (45) (F—F— система алгебры А). Сравнив строение /-'—системы ортогонально-дополняе­ мой алгебры А и А—системы к ее нормализатора (теоре­ ма т), [I]), убеждаемся (так как F —система любого нормализатора всегда является нуль-алгеброй |[2],£)|), что такими общими аффинорами А—систем ортогонально-до­ полняемой алгебры К и ее нормализатора S могут быть только аффиноры 7еА. Сформулируем вывод: (а) если а— корень, а—а. не является корнем нопмали- затора Р ортогонально-допо«няемой алгебры А, то ни один корневой аффинор Аа, целиком принадлежащий квад­ ратам Q|, не может войти в А. Иначе говоря, аффиноры подалгебры Лгл ортогонально- дополняемой алгебры А принадлежат относительно нор­ мализатора 5 только таким корням а, для которых и —а является также корнем S. ЛИТЕРАТУРА Г у р е в и ч Г. Б., З а л м а н о в и ч 3. И. Ортогонально-доиол- няемые алгебры Ли Г у р е в и ч Г. Б. Некоторые арифметические инварианты матрич­ ной алгебры Ли и критерий их полной приводимости. Известия Ак. наук ССС.Ч, сер матем., 13 (1449), стр. 403—406. В е й л ь Г. Теория представлений непрерывных полупростых групп при помощи линейных преобразований. Успехи математ. наук, вып. IV (19 8), с *р. 201-257. М а л ь ц е в А. И. О разрешимых алгебрах Ли. Известия Ак. наук СССН, сер. матем., 8 ( 945), cip 329— Зоб. Ч е б о т а р е в Н. Г. Теория групп Ли. Гостехиздат, 1940.