УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

X(Z- \ -AZ) — X(Z) изводную в точке z, если существует предел lim— 1— -----— iz-o д г в смысле сильной сходимости. Видим, если функция в точ­ ке г имеет сильную производную, то и слабую, причем ясно, что в этом случае слабая и сильная производные совпадают между собою. Обратное же, вообще говоря, не справедливо. Слабое и сильное интегрирование Замечаем, что каждая функция f г е,Е. есть вида: fz— = ft +rfe, где ft и fe действительные линейные функцио­ налы определенные в ^причем 0 < \z\ = t* -f /2 < 1 . Булем говорить, что ft и fe соот­ ветствуют fz Пусть будет дана нам абстрактная функция fz и пусть с правильная линия, лежащая в еди­ ничном круге комплексной плос­ кости (рис. 1 ). Произведем подразделение этой линии и составим сумму: П ^ f ( 1 ) 1 - 1 Слабый предел выражения (1), Рис. 1 если он существует, назо­ вем слабым интегралом для fz вдоль с. Слабый предел выражения_ 11 ), когда он существует, будет линейным функ­ ционалом ь. Сильный'предел выражения (1), если он су­ ществует, называется сильным интегралом для fz вдоль с. Аналогичным образом вводим понятие слабого и сильного интегралов для функции x(z). Именно, слабый предел, П если он существует для выражения^] x(z{)^Zi называется i-i слабым интегралом для x(z) вдоль с. Сильный же интеграл вдоль с определяем, как сильный предел этой суммы. В этом случае как сильный, так и слабый интеграл эле­ менты пространства Е. Скажем, что Тг слабо непрерывна, если она для каждо­ 9