УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

У)Если нормализатор Р ортогонально-дополняемой алгебры А не имеет кратных весов, то /л вполне приводима над L. Пусть Нормализатор г ортогонально-дополняемой ал­ гебры А не имеет кратных весов. Тогда, по теореме t), р— система R нормализатора Р совпадает с полной нуль- алгеброй L, и, следовательно, Р— ортогонально-дополняе­ мая алгебра, ([1], § 4|. Поэтому, в силу (21) Р= L + РГЛ. (36) Подалгебра Р™ алгебры Р, как это следует из [1], (28), является прямой суммой максимальной полупростой под­ алгебры В и абелевой алгебры-центра Z: Prn= B-j-Z. (37) Как полупростая, алгебра В распадается в прямую сумму простых алгебр Аи Л„ ..., Ак, так что S™= Z+A1+Ai + ... (38) Так как А ™—нормальный делитель для SM и A™=Z™-\-M, (39) то Z™(_Z\ М— нормальный делитель алгебры В; т. е. полу­ простая алгебра М будет представлять собой прямую сумму некоторых из простых алгебр 4, ,Л„..., Ак, состав­ ляющих алгебру В. Так кач аффиноры, из которых один еЛ|, а другой e4j (i,j — коммутируют как друг с другом, так и с аффинорами ZeZ то ясно, что S™ полу­ чается из Атл присоединением всех аффиноров, коммута­ тивных с каждым из аффиноров алгебры 4 ГЛи содержа­ щихся в квадратах Q,. По теореме 0), базис Г-алгебры //л алгебры Ул может быть выбран из аффиноров, которые все одновременно приводятся к диагональному виду. Предположим, что М — 0, т. е. Ктя —абелева. Так как Ргл получается из Агл присоединением всех аффиноров, комму­ тативных со всеми /бгл€Лгл, то в этом случае каждый аф­ финор Агл коммутирует со всеми аффинорами Srn, т. е. алгебра Лгл принадлежит Г—ал 1 ебре /5ГЛ алгебры 5ГЛ, и, следовательно, приводится к диагональному виду. Пусть теперь МфО. Тогда /И, как полупростая, вполне приво-