УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Доцент Н. С. ТИТОВ АБСТРАКТНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО В БАНАХОВСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ Пусть имеем пространство Е линейное, комплексное, нормированное и полное. Пусть в Е определен функционал /(*), который каждому элементу хвЕ относит комплексное число, и он выполняет условия: 1 . /(*,+*,)= /(*,) + /(*2) для л:,, хг еЕ 2. J(cx) —cf(x) [с —комплексное число). 3. Из \imxn= x следует lim/C-vn) = /(-хг). Про такой Л -> со п -*■ оо функционал мы скажем, что он комплексный, линейный. обозначает комплексное сопряженное пространство к Е. Будем рассматривать функции, которые определены в еди­ ничной сфере комплексной плоскости и значения которых являются элементы линейного, нормированного простран­ ства Е. Обозначим через x(z) (0<|z|< l ) функцию, зна­ чения которой принадлежат Е, а через /Z(0<|z|< 1) функ­ цию с значениями в Ё. Скажем, что f z имеет слабую про­ изводную в точке z, если существует слабый предел вы- ;[*) _ уР 1 ражения —при Дг стремящимся к нулю по лю­ бому закону. Сильный предел выражения +-А.г.~/г ПрИ Лг Дг стремящимся к нулю по любому закону называем силь­ ной производной функции ft- Функция x(z) имеет слабую производную в точке г, если существует элемент*, для которого Ит/ Az-0 —/(*) для каждого /е if. Функция х(г ) имеет сильнуюпро-