УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

ДоцентВ. М. ГУЩИНА ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕЕРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОБЩЕГО ВИДА Введение Как известно, для доказательства теорем существования алгебраических, дифференциальных и интегральных урав­ нений широко применяется метод последовательных при­ ближений, который позволяет также получать приближен­ ные решения уравнений. Метод последовательных при­ ближений в рамках функционального анализа может быть для различных типов уравнений уложен в определенную схему и сформулирован как принцип сжатых отображений. Принцип сжатых отображений был высказан в 1922 г. польским математиком Банахом, впервые был применен к доказательству теорем существования Каччиополи в 1930 г. и является очень плодотворным приемом при до­ казательстве теорем существования и единственности. Суть этого принципа выражена в теореме. Теорема Каччиополи-Банаха Если в полном метрическом пространстве Rf дан опера­ тор A(f), переводящий элементы / и g пространства R,, отстоящие друг от друга на расстоянии d, в какие то другие элементы R{, отстоящие друг от друга на расстоянии й ' , так что d'<^ad, где а < 1 и не зависит от d, то существует един­ ственный элемент / пространства Rf такой, чтоА(/)=/, причем, если /0—произвольный элемент Rf и f n+x= А (/„) «=0,1,2, . . . ,то lim р(/„,/) = 0. 224