УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Обозначим для удобства и(п,0) = а (2п-\)и(п,0) -\-и(п,\) = Ь. (9) Мы получим следующее дифференциальное уравнение — + + n— = atn+1+ btn. (10) Решение последнего уравнения есть <р (t) = C(t— 2)-<«+%-'+ (t - (я/л+1+ н- Ып) (t - 2}'e'dt ° (11) Для удобства это решение запишем в следующем виде <Р (t) = C(t - + М J vtndt (12) О Определим ( k) производную. ?№(*) = (—1)*С[(*—2)-(»+1>+С,й(л +1) («—2 ) - (п+2)+. . .+ -f- С/(п + 1)...(я -(- K)(t — 2)_(я+1+й)] + MW J Jvt" dt + CK'M ^ ( v t n) 4- C*KM(*~3>(vt«)'+:.. + +C\M(vt»y*-» (13) Полагая в (12) и (13) /= 0, получим и (и , п) = ср(0) = С (—2)-<я+1> 1 ! и(п,п - 1) = ср'(0) = С [ (—2 )-(я+1)+ 4-С4(«4-1)Г-2)-(п+2)] ( - 1 ) ‘ (14) к\и(п,п —к) — cpW(0) = (— 1)КС[(—2)-<я+1>4- 4-С 'Л.(я+1)(-2)-<я«)4-. . .4- 4- С\(п + 1) (П+2)...(n+k) ( - 2)-<я+я+1) ], так как вторая часть (13) при « < « обращается в 0. Пе­ рейдем теперь от и(п,п — н) к f (n,n — к), учитывая при этом формулу (2) и то, что /(га, ti)—2nn\. После упроще­ ний получим: 222