УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

В общем случае, согласно 6) обе линии (л:) и (у) явля­ ются прямыми. Обратно, если линии (х) и (у) прямые, то как прямые они и геодезические, а из равенства кривизн Ах и Ку нулю вытекает, что Z.x= Z.y—0, т. е. линии (л;) и (у) асимптотические. _ а) Если ни один из четырех инвариантов р,р, q, q не об­ ращается тождественно в нуль, то первые два условия дают Л= Длп=±1, а последние два условия дают: Д= const. Следовательно, в этом случае поверхности (G) и ( N ) обе Клиффордовы. Линии (х) и (у) принадлежат ко второй системе обра­ зующих поверхности. Угол 0 между лучем (у и линией (х) постоянный. Он равен удвоенному расстоянию любой точки поверхности ((у) до одной из ее осей. б) Если <7 = 0, то последние два условия удовлетворя­ ются, а первые два требуют или <7= 0, или pz=q=0 . В первом случае х '—рш, y '~pz , т. е. линия (х) совпадает с лучем N= [х, со], линия (у)— с лучем e/V= [y, г]. По­ верхность ( q ) образуется скольжением луча Q по взаим­ ным полярам N и е N и будет особой поверхностью Клиф­ форда. Линии (х) и (у) при этом принадлежат второй си­ стеме образующих поверхности ( q ) и образуют с образую­ щими G угол равный — . Если еще р или р тождественно равно нулю, то одна из стрикционных линий вырождается в точку, поверхность (С) будет плоскостью. Во втором случае имеем q—p —p = 0, следовательно х— const., у = const., поверхность (<у) вырождается в луч. 12. Пусть обе стрикционные линии (х) и (у) одновре­ менно являются линиями кривизны и асимптотическими. Тогда имеем: рр + qq —0, pq — qD = 0, pq — pq = 0, отку­ да следует, что по меньшей мере три из четырех инва­ риантов р, р, q, q тождественно равны нулю, следова­ тельно поверхность (<j) является или плоскостью (если РФ 0, или р ф 0) или вырождается в луч. 13. Рассмотрим случай, когда стрикционная линия (л:) пря­ мая, а стрикционная линия (у) — постоянного кручения т у — i 1 - Имеем: pq — qp = 0, qp' — pq' = 0. 218