УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

того, что для каждого* еЕ соотношение ( 1 ) имеет место для функции iz(x). Точно также все это имеет место и для функции слабо аналитической с значениями в пространст­ ве Е Для функций аналитических в слабом смысле имеют место и уравнения Коши-Римана в смысле слабой сходи­ мости. Ряд Тейлора для функций слабо аналитических Пусть имеем функцию fz слабо аналитическую и точка а будет из единичного круга комплексной плоскости. Со- “ /"> ставим выражение ^ (z — а)п, где /<п) есть слабая п-1 производная пг0 порядка от функции /г в точке а. Тогда ® /»> легко обнаружить, что \ —-— (z— а )1 сходится слабо к МяА П ! Л=»1 }г при п -> со в достаточно малой окрестности точки а. В самом деле, для того, чтобы обнаружить упомянутую ™ /<")(Х) слабую сходимость, нужно показать, что lim \ — (z— 111 -»оо п ! П~1 —a p—f jx) . Для каждого хеЕ в достаточно малой окрест- VT С ] мости точка а, так как ведь каждая сумма > (z—ajn есть п\ i - i не что иное, как комплексный линейный функционал. (Сле­ довательно, тут мы имеем дело со сходимостью последо­ вательности линейных функционалов). Но так KaKfz(x) для каждого ле Е суть функция аналитическая в обычном смыс. ле, то имеем lim V —— = /z(x) для каждого х&Е. Сле- JT1 -*• оо шш* П I П =»1 “ /п) довательно, имеем fz= \ (z — а)п... ( 2 ) в смысле сла- A J п\ п-1 бой сходимости в достаточно малой окрестности точки а. Представимость fz в виде ( 2 ) в окрестности точки а будем