УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

следствие предшествует во времени причине, что невоз­ можно. Следует отметить, что мы предполагаем процесс коле­ бания, возникшим исключительно за счет заданного режима на границе. Если бы на возникновение процесса оказывали влияние еще и другие факторы, то значения функции а в момент времени t могли бы также определяться через значения начальных функций в моменты времени, более поздние, чем t, так как сам режим на границе мог бы ока­ заться предопределенным этими факторами. Для того, чтобы получить физически непротиворечивое решение, нужно установить такую связь между начальны­ ми функциями f и F, при наличии которой решение и в каждый момент времени t зависело бы только от значений этих начальных функций в моменты, предшествующие t. Для рассматриваемой задачи эту связь легко установить, исходя из классического решения Даламбера. Действитель­ но, если дополнительно предположить сходимость соот­ ветствующих несобственных интегралов, U (/, А) = - ^ + * ) -+ / (' - - * ) + 1 J уг(х) (h = t— 'С = + \ j F{z)(lx_ j S ^ nx)dXt — ,00 —-со а поэтому для выполнения указанного требования доста­ точно, чтобы i ( t + x ) + ] XF ( x ) d * = Q для всех х > 0 и — оо <Д < оо. Введя новую вспомогательную переменную tx=t-\- х, перепишем последнее равенство в виде (40) UM = - j 'V(x)rfx . —м Равенство (40) выражает начальную функцию f через на­ чальную функцию Д. Дифференцируя его по tx, найдем, что (50) /Г(Л)=-_ГЙ) , —00 <^<оо . . 115