УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Норма этого оператора определяется, как ||L/]|= = bornsup ||/Z!U ибо мы уже знаем, что }г(х\ = С(х) = ср(г) и 0<|г|<1 0<|г|<1 следонательно |<р(г)| < bornsup ||/z|l |х|. Отсюда ясно \\U\\< bornsup \\tz\ (|г|< 1). Но с другой стороны ясно, что не может быть | U\\ < bornsup ||'2||. Поэтому \\U\= bornsup ||/zl|. Обратно, каждая в пространстве Е слабо дифферен­ цируемая функция, которая отображает Е на весь ансамбль аналитических функций в круге \z\ < 1 , будет представлять некоторый линейный оператор, отображающий Е на ан­ самбль аналитических функций в круге 0<|г!<1. Ибо, во- первых, она каждому xzE ставит в соответствие аналити­ ческую функцию, во-вторых, это соответствие линейное, так как существует константа к~ b rnsup||/z||, удовлетво­ ряющая условию Цср(г)[|< %||, а аддитивность этой функции •очевидна. Пусть имеем функцию /г аналитическую в слабом смыс­ ле, значения которой принадлежат сопряженному прост­ ранству Ь. Тогда для нее имеет место теорема: Если имеем некоторую односвязную область G, ограниченную произ­ вольной кусочно-правильной линией Г, и f z функция анали­ тическая в слабом смысле в замкнутой области G, тогда слабый интеграл Коши выражает значения функциии 1г во всякой точке внутренней к линии Г, через значения этой функции вдоль замкнутого контура Г. Поэтому значения аналитических функций в слабом смысле тесно связаны между собою, т. к. ее значения вдоль замкнутого контура Г вполне определяют 'ее значения внутри Г. Соотношение, которое нам нужно доказать, запишется следующим обра- нужно брать предел этой суммы для каждого xsE). Спра­ ведливость формулированного предложения следует из И<1 z любая точка внутри Г, ♦г а / на контуре Г. Причем выражение нужно •г 1 понимать как слабый предел суммы 2 к1 i\-z 1 v fl\ д/| , it- I - —: Ст- е- 1-1 11