УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Будем говорить, что функция f(£,x) имеет двойное асимп­ тотическое разложение в некоторой области плоскости в смысле „треугольников11, если для любого N > 0 выпол­ няется соотношение: а ш & = М - 0 t -ОО т- оо при одновременном стремлении t и т к бесконечности вдоль атимптотическог о пути функции f(£,x). Наиболее распространенный метод получения одинар­ ных асимптотических разложений состоит в деформации пути интегрирования формулы обращения преобразования Лапласа в сочетании с теоремой Коши и основной теоре­ мой о вычетах. Основная трудность при получении двойных асимпто­ тических разложений состоит в том, что в теории функций многих комплексных переменных теория вычетов отсутст­ вует и, следовательно, получить двойные асимптотические разложения обобщением вышеуказанного метода на случай двух переменных нельзя. Одним из способов получения двойных асимптотических разложений является способ подстановки сходящегося разложения в асимптотическое, асимптотического в сходя­ щееся и асимптотического в асимптотическое. Если функция fUi^), зависящая от т как от параметра, 00 имеет асимптотическое разложение: (I) f(f,x)~ £ a„(z)X n-0 X t коэффициенты которого представимы рядами, сходящимися всюду вде достаточно малой окрестности начала координат, то есть: (И) ап (т) = 2 Ь £> • m-=0 то оказывается, что путем подстановки в (I) вместо коэф­ фициентов яп(т) их разложения (II) можно получить двойное асимптотическое разложение функции f(/,T). Рассмотрим асимптотическое разложение в смыс­ ле „прямоугольников1, то есть выясним условия, при кото­ рых выполняется соотношение: Нш =0 , 00 IФЛ1Л' I X- 00 1 1 101