УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Наиболее характерными примерами „выпуклых" част­ ных сумм являются „прямоугольные" и „треугольные" частные суммы. 00 Если все члены ряда Е Ь{т • x_T1~mr‘_1 • £-т~пг_1 рас. ш1п—О положить в виде бесконечной таблицы с двумя входами и включить в состав суммы все члены, расположенные в прямоугольнике, содержащем N первых строк и М первых столбцов, то полученная сумма называется „прямоуоль- N M(N) ной" частной суммой. Она запишется в виде 5 j S=* ^ ^ п -0 ш -0 6т* • ^Т-пг-1 . Т-Т1-ШГ1—1 e(J яГраница« N М(Л') фмлг== х- 7 С-Мг ,-1 . гТ -пг -1 + S f t (N) . х Т* шг« I х п =0 ш =0 X f T-№ - l Условимся считать, что функция f ( t t г) имеет двойное асим­ птотическое разложение в некоторой области плоскости т в смысле „прямоугольников", если для любого N>0 выполняется соотношение „ = о, Uo' *-« |фм*1 Х-*-оо когда t и т стремятся к оо вдоль асимптотического пути функции Если в состав суммы 5млг включить все члены ряда 00 2 Ьт} • х-Т1~гаГ1-1 • , расположенные в прямоуголь- га^п—О ном треугольнике, „катетами* которого являются первый столбец и первая строка таблицы, а „гипотенузой"—форма порядка N, то частная сумма (назовем ее треугольной частной суммой) запишется в виде N N— п s%— Е Е ^ . Г Т-пг -1 . ^-т.-гаг,-^ п =*0 т =*0 „Граница" этой суммы представляет собой форму порядка N, то есть ф . Х-Т1—1 £ Ь(£~т) • t^N~m)u . x -mr‘ . /Ш ш=«0 100