УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

го хеЕ непрерывная функция по z. x(z)— слабо непрерывна, если f[х(г)| непрерывна по z для каждого i sE fz—сильно непрерывна, если того, что limzn=z следует lim fzn=JZ II-*■ 20 П-*- оо в смысле нормы функционалов. Аналогично сильная непре­ рывность определяется для x(z). Видим, что из сильной не­ прерывности функций fz, х(г) следует их слабая непрерыв­ ность- Обратная же не имеет места. Функция fz называется слабо аналитическая, если fz(x) аналитическая для каждого хеЕ. x(z)— слабо аналитическая, если f[-x(z)] аналитическая для каждого НЕ. fz сильно аналитическая, если она силь­ но дифференцируема для каждого z. Аналогичное опреде­ ление даем и для x(z). Из того, что функция сильно ана­ литическая следует, что она и слабо аналитическая. Замечаем, что слабо аналитическая функция имеет произ­ водные всех порядков, которые все сами слабо аналитиче­ ские. Условимся через Jf zdz обозначать слабый интеграл *С * от fz вдоль с, а через Jf Zdz сильный интеграл вдоль с. С Аналогично будем делать и для функций Мг). Если конеч­ ная точка кривой с будет не фиксированной, а переменной, то мы в вышеупомянутых рассмотрениях приходим к по­ нятию слабого и сильного неопределенных интегралов для fz и х{г), которые будем обозначать как и ранее. Покажем некоторые приложения введенных понятий. 1. Установим общий вид линейного оператора, отобра­ жающего любое комплексное линейное пространство Е на ансамбль функций аналитических 9 z) в круге |z|<l, где за норму взят max|cpfz)| для |z|<l. Рассмотрим произвольный оператор линейный U(x) — <p(z), отображающий Е любое линейное комплексное пространство на пространство ана­ литических функций в круге |z|< 1. Замечаем, что если мы возьмем некоторое произвольное z0 из множества |г|< 1 , то рассматриваемый нами оператор U(x) = y(z) для этого значения z 0 обратится в комплексный линейный функцио­ нал fZ(j= U( k ) = <p(z0), ибо у нас U(X) линейный оператор. Следовательно, каждый упомянутый выше линейный оператор U(x) может быть характеризован, как слабо диф­ ференцируемая аналитическая функция fz(|z|<l), т. е. при каждом хгЕ f z(x) = <f(z) аналитическая, а стало быть f z слабо аналитическая. Ю