УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

3-й случай. Если коэффициенты одного из уравнений системы пропорциональны коэффициентам другого уравнения, но не все коэф­ фициенты при известных — нули, то представляются 2 случая: а) При К ф 0 будем иметь 2 совпавшие прямые, координаты то­ чек этих прямых и будут решениями системы ( 1 ). б) При К = 0 все коэффициенты одного из уравнений нули, но хотя бы один из коэффициентов при неизвестных другого уравнения не равен нулю. Графиками таких уравнений будет соответственно вся координатная плоскость и прямая. Пересечением таких графиков будет прямая, координаты точек которой и есть решения си­ стемы ( 1 ). 4-й случай. Если все коэффициенты при неизв'естных — нули, но хотя бы один из свободных членов не равен нулю, то также могут представиться 2 случая: а) Если оба свободных члена отличны от нуля, то графиком каждого уравнения является пустое множество точек плоскости (нет точек графиков), и потому их пересечение также пустое множество (решений нет). б) Если один из свободных членов — нуль, график этого уравне­ ния — все множество точек плоскости, а график 2 -го уравнения — пустое множество точек, поэтому и пересечение этих графиков пустое множество точек плоскости, то есть решений нет. 5-й случай. Если все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю, график каждого уравнения — все точки коорди­ натной плоскости; пересечением этих графиков будет также множе­ ство всех точек плоскости. Решением в этом случае являются коор­ динаты всех точек плоскости. Мы привели подробное и исчерпывающее решение системы 2-х линейных уравнений для учителя. У учащихся 9-го класса такое исчерпывающее решение линейной системы заняло бы много времени, поэтому учителю предоставляется возможность решить линейную систему при некоторых ограничениях, как это сделано, например, в учебнике алгебры Киселева. Однако, как показала школьная прак? тика, учитель правильно разбирается в решении линейной системы с теми или иными ограничениями в том случае, если сам имеет ясное представление ,о ее полном и исчерпывающем решении и соответ­ ствующей геометрической интерпретации. 2. СИСТЕМА ДВУХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ, ОДНО ИЗ КОТОРЫХ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ, А ДРУГОЕ — ВТОРОЙ СТЕПЕНИ Общий вид такой системы: I а х + а2у + аъ = О \ Ьх 2 + Ь2ху + Ь^у2 + b4x -f b5y + b6 = 0. Так как один из коэффициентов при неизвестных 1-го уравнения отличен от нуля (уравнение первой степени), то данная система легко решается способом подстановки. Пусть, например, а, фО , тогда исход­ ная система преобразуется так: = — а3у ~ а3 Й 1 Ь{х2 + b2xy + Ь3у2 4- ЬАХ + b-у + Ь6 = О После подстановки во 2-е уравнение вместо х выражения а2у -f- Ло ^ -------- 1 получим, вообще говоря, квадратное уравнение относи- «1 220