УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 1967 г. ВЫП.1

Поэтому кватернион Q можно представить в виде: Q = Оз»~Ъ е2 Q‘2—(Q 3 + ei Qi) "Ь е2(Q 2 “Н et Qi)> (2) где Q34, Q i 2 — комплексные, a Qu Q2, Q3, Q t—действительные числа. Возвращаемся к обычным обозначениям единиц ква­ тернионов i, j , k, если положим С\—ky Ci €■>—jy С 2 — i. (3) Свойства и правила действия над кватернионами считаем из­ вестными. Чертой обозначим сопряжение единицы е2— — е2. Согласно ( 2 ), любая кватернионная функция f (х ь х2, х3) в пространстве трех действительных беременных R 3 может быть представлена в виде: / = (*и *2> *з) — Ф+ е2 ''i = (Фх + ei (р2) + е2 (■}<, г <?, ^ ) , (4) где ф, ^ — комплексные, а ф], ср2, б 15 — действительные функции в R3. Если ф 2 = 0 , то назовем такой кватер­ нион векторным, ибо, согласно ( 3 ), е1 f<Pl + е 2 'И = »’К + j Ь + k Ф 1 - Определим кватернионное переменное в пространстве R3: Z 3 — * 3 + е 2 ~ ~ — х 3 4~ е2 ~ ( * 2 ~ l ~ e l * l ) — ^ 3 “Ь ^2 — “ ~\~е2е1 ~ Zn z 2 — х 2 &lx l> z 3 — * 3 ^2 ~ 7" Введем операторы: д 1 / д . д \ д_ 1 /_д ____ д__ dz2 2 V дх2 dxi - _ J>_ , с дг2 2 \Лс 2 "Г 1 дху 2 / — ( — - + е 22 ~ ), 2 V дхо dz., dz. .= J . f A _ l 2 4 - 1 . 2 \ дх3 dz2) (5) ( 6 ) (7) Операторы типа ( 6 ) широко используются в современной тео­ рии функций комплексного переменного [2]. Отметим, что опе­ ратор связан с оператором Кватернионная функция / от х 1У х2, х3 называется моно- 4