АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

Если те для некоторого ь N i G i ) i * i a e > \ , а то есть &<. » UHB> , V f т о . используя замену /?8 на U 'W/Ti 1 , можем получить слово VV* ( I T 't f i Т У 'Г 6 (U -'bU Т Г У Ч Ь < из М .поэтому IO & I приводит и неравенству Ю 1 * /H i/& / у / Покажем, что вершина О не может принадлежать никакой дру­ гой области, отличной от Д . Предположим противное.Тогда икеем область Х Д такую, что > 3 (T>k) П состоит иэ Вершины О .Положив (/>(& .)* E j для 1 * / * 1 , рассмотрим с т а ­ кое, что / ( / > & ) / * / / } & / или tfie> t .Пусть для определённости h /> (& i)(2 / i f ( T i ) / .Тогда если S i * /?& , то H i¥ i * так как противное приводит к противоречию с п > 1 . Следовательно, существуют области 2Х и 23l+f с метками E i Н н Fi Hi и E itiH i E i+ t H iti .Общее начало слов Е к и Е { или общий конец слов F (, r и £ 1 меньше (1/4) R. , так как, предполагая противное, по условию c t l/ 4 ) из тождеств Hi F i*i H i,, Е<ч — Е Н / Е , и Е кН к -i F k = E i H i-i F, Ис 1 следует свободная приводимость сло в F, fH i и F^ H i с о о тв е т­ ственно, а следовательно, и сло ва F t , что противоречит приведённости граничного цикла Г .Если же общее начало £ * и Ё ; меньше (1/4)0. , т о , в силу £ ^ > ( 1 /4 ) 0 , имеем Е<<(11/4)0 и Н н ¥ i .Следовательно, существует область Di-< с <?( D i-i)f] d (£ > i)*= H i-r .Однако метки областей 23/ ,X>i-i и 2D* нарушают условие Т(4)определения рассматриваемого класса групп. Аналогично, если общий конец слов E i n и F i меньше (1 /4 ) Ю % то существует область 1 )i* a так ая , что метки областей 23/.Л , 23 i n и 25» нарушают условие Т (4 ) . ' Таким образом, 3 I s * URR> , где i . Имеем область £>,- с меткой Е , //<-, Fi //< 1 , где £ / * U .Z Покажем* что 1 1 * 0 / 4 ) R. .Для этого предположим, что 1 1 2 0 / 4 ) 0 .По условию C ll/ 4 ) имеем тождество 2 Н н Fi H i1U s э F1 H ,1E1 , из которого следует циклическая свободная приво­ димость слова Л .Но то гда Z < (1 /4 ) J2 , так как в противном случае по условию С С /45 из тождества ZHi-i F i H t l l * Е кН к -i F k .. следует уже невозможная циклическая свободная приводимость слова f i .Так как 2 ¥ i и Ек > 0 /4 ) О , то IE KI^ -/Z I .П о э т о в , в силу условия Т ( 4 ) определения рассматриваемого класса групп, имеем ftp ,*/ и, следовательно, U f l < 3 i ., ) l ~ l <E ( T i- i) l