АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

том V iic и имеет место равенство С Л> К С ус (3 ) и о порождается элементом Vi h я имеет место равенство С H V o C 4 ^ V l h , (4 ) f o x X (tnn X X 1'АVe X ) * i n n * [ Uc поровдаетсл элементом ИЦ и имеет место равенство cX«V'c c '-< -v iiB. СВДСГВИЬ 2 . Пусть а Д Н а ,, ...,а а )> , к < а , - под 1 'р.уппа свободной группы f ^ <a /, . , a n > и пусть для некоторого c * F a , минимального в классе U cU , ( J c U 4 U V и c U c ' T W J ~ U 0 .Т о гд а если U0 *E , то U0 - циклическая иодгру па одного из видов ( I) - (4) следствия I , либо Ц,х <0^>, Следствие 2 вытекает из следствия I и леммы 6 * • Приступим теперь к доказательству теорем I и 2 . Рассмотрим группу а . < А , * А , ; b tlA t u lA 4 ) V1 * (f(U t ) > i (М ) являющуюся свободным произведением групп А , , A _f , объединен* ншс по изоморфнда подгруппам Ut , <7, ( Uf <А ( , U.t<A_( ) с помощью фиксированного изоморфизма У . U, -+ U .,. Т о гд а , как известно [ I ] , каждый элемент может быть един­ ственным образом представлен в нормальной форме: W * . •• tyn, <83; гд е К/ , t - f i i , д , 4 1 t элементы g t , g iH , i * f , n - 1 .принадлежа: разным сомножителям А£ , £ = Ш , и к аж до е^ явл яется представителем правого класса смежности группы А£ в о подгруп­ пе U( ' f e U (чер ез U будем обозначать объединяемую подгруппу), Число а назовем слоговой длиной W и будем обозначать 1Ы11*П- Слово h g ,qt ...g n , представленное в нормальной форме называется циклически несократимым, если Qt и содержатся» разных сомножителях группы й , • ТЬОШйА 4 . [ ЦПурть G=< А,*А _f; ie£A£te=tllU, -V tty )>-свободно* произведение групп А, , Ач , объединенных по изоморфным под­ группам W, , где ^ ,<А) ,l£ ,< A .n B W = h f ,. .. f a , д ва элемента из Q , П>1 , записанные в нормальной форме и яд- лягщиеся циклически несократимыми, сопряжены в £? . Тогда одйв из них может быть получен из другого подходящей циклической V* ?.Ъ