АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

и » .* ,* ' тЦ^ — IFi - Ш ш *• Vp. Так же, как и в предыдущем случ ае, из (7 7 )сл ед у ет, что при m -f> 0 равенство (7 7 ) не выполняется в свободной группе. Повто- му т ч * 0 и (77J после подстановки значения ?л будет иметь вид f к-*.<пТ а V» X J пп , используя который, получим оценки на длины l |#Л|»!П1 +1^ЦУ)'нн1. (80) Подставляя значения 4 и параметров в (7) и выбирая значения Ц , К с учетом равенства (80) , мы покажем, что рассматри- tr мый случай 2/ Невозможен. Заметим, что так же, как и в предыдущем сл у ч а е, если И 'И * Мп г И , получаем, что или 4'А =1 , или l'nn=x=ir,= и с - свободно сократимое сл о во . Поэтому достаточно рассмот­ реть случаи, когда |#' a (*I*» « \ , а именно: К = f'nn = k n ?»», И |Tun Wj^ I | 4А 1^1 4пп X и! Допустим, ЧТО 4'А= -Ц ,„ , fnhfhnX~'ir,X?At f ) ( f ' n bA, где Кпп. Тогда из (73) получи.! равенство ?hnh Th„X 'vjX-^A Щ Х^ппд * ,£/Д X $пт ^ппп , (8 1 ) из которого сл е д у е т, что 4'„„h - w s, Ч Х т д ^ Х ^ и л * w \ а отсюда - свободная сократимость слова С . При остальных допустимых значениях Тд также следует свобод­ ная сбкрэтимость слова С , в чем легко убедиться аналогичным образом. Зто завершает доказател ьство леммы 5 . Заметим, что при ртом условие ( 4 )>0 оказалось несущественным. Из доказательств л е т 5 , 6 , 9 следуют справедливость тен­ орами 3 и СЛЕДСТВИЕ I.FlycTb V * < Q ,,...,0 k , К (а <> , а * ) > , подгруппа группы Fn*<Q u,..t cin > , слово J0 / и ) которой удовлетворяет условию пусть также для некоторого c eF a , мини­ мального в классе (fc U , I f с О ^ U U и cU c V7 U=Cf0. Тогда подгруппа 04 - циклическая, при этом возможны случаи: (1) Тс- vvР , р> I , U0 порождается элементом wp и имеет место равенство cw^c^tv^; (2 ) i ( ~an lfa ^ , $ J 0± i* rrj',trc ib и 17* порождается элемен- 27