АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

h f A in , \ * Л * I * " ' * И Подстелив значения СА , Сп в (7 ) и выполнив сокращение, получим равенство in inX ^ г UtC - & * * У ' ’и , н X / x f * > Х (73; I/ Пусть в соотношении (73 )?<= -1 , тогда , Ь ’ *, I liU l f t l. Если «1 -»о и , то /=т . ОДучай, когда т > о и I»;** |* li-n l, также невозможен. Портому пусть у * О ,lt A 'l< IJ-n l. Последуем равенство (7 3 ) . Если , t<m t то получаем случаи П, который, как доказано, не имеет места в свободной группе. Если f A (дгг« i *7Лг f* U ?п , то снова приходим к случаю П. Пусть ) т /А , тогда и, если /?/ й /5 й I , то со­ отношение х , (74; полученное из (73) после сокращений, имеет место в свободной группе, если оно удовлетворяет соотношениям О ) или ( ‘ О . Если т -1> 0 , то и в том, и в другом случае имеем I**> ^ I Ьсли , то ввиду то го , что ,1<1М * V - C **1 либо получим, Ч *о/ *';'Х ''Н *«?„| Пусть U a I> I^ I . в ртом случае так же, как и а предыдущем, имеем Ш1<!%,1*1гг,Х/*>1 Поэтому в £ X*'- tr,XТА, v a e i= T ATn , причем /&/*/!/>/._ Подставив в (74) значение f„X'' ж выполнив сокращение, по­ лучим равенство * U m * i X i m ,,X U m * l ■ •~ Vj X- (75) Предположение, что = f , приводит к одному из случаев в П. П ортому считаем 15 у у , кроме то го , указанными выше рассужде­ ниями придем к тому, ч т о Д о б а в и м к соотношению ( 75 ) новое. K~'X~'v;xTA * l n i rnX '1I m *1 . (76) Можно убедиться, что в случаях ( О или ( “ ) , которым соотно­ шение (75) удовлетворяет, так K a xH riM in l при m i l , равен­ ство (7Р) не выполняется в свободной группе. 2/ Пусть в (73) ? , ' 1 . Тогда * * К * ' п , / *Л 4 М"1* Если 1 У>с г ц>о , то олоноОСчС» свободно сократимо. Пусть п?>о и 4 * 0 . 1огда1У,„ Х Ь 1 ^ П ь а я ж 1 'Х - ,*^ЯА , где К г *»*1*, и|)г>п1 ) 0 . то (73) после сокращения сводится к одному вэ под-