АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

Выполнив сокращение в (6ч), приходим к соотношению: ... (66j Для того чтобы соотношение (66J имело место в свободной группе, необходимо, чтобы оно удовлетворяло соотношению (О или ( “ / Рассмотрим случаи О ) : f= ( f' n a X~'v,X)k 'f'„n, k ' i i , 1^=fnn X'\ и . U(„ V Годставив значения У (fit *••• * £t - /‘я- * и параметров в ( 7 ) , вычислим значения , оц е- О» , Сп . Используя значение % , подставленное в (65) Ним f'n и fix , Из (65) получаем, что и ,-ь " , и I f n l ^ lW b l V x X , следовательно: \}'ь\*Ы 1ХУппХ'Ч-=-1Гп\. i (67) Допустим, что К‘ *1г,Х)*Н . где O i t < S , S * L kJ k ], если к 1 - нечетное, и ы [ * Л . ] Ч , если к ' - четное, V ;Z ,= 4 Учитывая (6 7 ), получим где Y%lzs fi,nX YfX , IY , l = IYt / . Проведем в (? ) сокращения, Подотавив в б/? , О, соответственно значения ) * ' , у/ , длины которых, как следует из (67) , отличаются на lv , ( п о т м у к ' а ) . Получим, что либо i ‘nn= f , либо щ = *. Вели frin = ( , то 6 ^ ( f ) . 0 , что противоречит допущению. Дели V ,= f , то / К( ^ ) к ' , к ’>1 . и,учитывая (67) , получим i * i . Раоомотрим случай, когда соотношение ( 66 ) удовлетворяет равенству ( Ш . Тогда h ( f h nX',Yl x T ^ tr,X )k 'fj!,ni U ' b f, ш ... = * t - =«• •» , и х *• • ■ *"* = *7 *•• = * £ - ,, 7„ * fin х \ У%!, причем Т / удовлетворяет соотношению F 'v t X i’nnK''= f'»nX~'wt X . Учитывая, чТ оМ пЫ ^Ц й подставив в (65) значения Рл ж f'n (при этом к '> {) , выводим, что и ,^ и г = гг, „ |)J,|=H a |+ + Ы Х С г 'щ Х 7'\ шI К'1 + 1ц X ГЛЧ Xf'nn X ' 'I . Отсюда !» й М . « Н м ? ' ч * « . г т Используя опенку ( 68 ) * получил X)* Y ,, где S<Lk i i l , если fc' - нечетное, и , еояи к ' - четное { Y ,2, » /яя*'V, XT^tr, X и ^ f C ' r V ^ r r V )0 К4 , где Y i.ik* l'nnK ', V‘i ''? 'fiX ',Vt'i X . Отсюда сл ед у ет, что l Y i l - I Y i ( я к 1? 2 . Подставляя, как и в предыдущем случ ае, в О, , Сл значения , f h 1 , учитывая, что их длины отличаются на длину | ^„п Хч и\ XT* Щ к I из соотношения ( 7 ) , получим fn n * t. В атом случае k ’>Z и f является истинной степенью w . выбирая (6 8 )