АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

имеет место в свободной группе, если оно удовлетворяет условии 6 0 или 6 * 0 . Однако в каждом из атих случаев в силу то го , что m i l , равенство *nX'f= 1"Ч'Л не справедливо в свободной гр.уппе. (а 2 ) Пусть 1 Щ >1*1,1 Так как $Гт(Ц ) = 0 и концы X и Х * ' в соотношении (60) не на­ легают друг на др.уга, то 1ЦХ1<1*'п I и ? * = * , Так как |У,Х|< < 1»/, X f I * то Л^л , где ,Гл| < | ? n l > получаем соотношения: i n^ 1X - , = i n X -W 1 X fflr (61) Из (62) имеем: и *5 #6 , так как в случае ££= ( приходим к (П ,3 ). Для того чтобы (62) имело место в свободной группе, необходимо, чтобы оно удовлетворяло условиям (О или ( ‘ О. Но и в том, и в другом случаях, подставив значение f в (58) и вычисляя Сл , получим* что либо соотношение ( 6 Д не имеет места в свободной гр.уппе, либо f'nn = i УП. Пусть в соотношении (7) Uc*tr0 ^ i , 4 * 1 , Ц * ( , С п * 0 Г < , CfX*/' , где / < = № , * * * * , ? # , Мд' I 4 Hn I.Подставив значения С„ , С*Л в ( 7 ) и выполнив сокра­ щения, получим равенство I/ Пусть в (63) £,•= -(, = ^ . Тогда (63) примет вид: $ Г ' и , Х & Г \ . . 1 * Ч С ,щ с - , ~ ^ Х \ Х ^ ' . . X & X l (64) Заметим, что /Л* ^ ^ , так как в противном случае / цикли­ чески сократимо. Допустим, что 1*^|<|*я1 , гдё У **'h *», f ^ и |#пН(*л| , l f i l < l f n l . Учитывая последнее соотношение и тот факт, что X и X"1 не налегают своими концами друг на др у га, получим, что . Дели /*Д < (*'/ ( , то из ана­ логичных соображений получим =£г = - ( , Заменив / на i~ ' , получим предыдущий случай. Так как • i r * 1x - ,ul x i < i ^ x - ' i < i f ; 1x - , u l x i |, то х - 'ц х Г л> (65) зд есь h ' ^ f n> I ? a U|T«| .