АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

Так как jC I H X I , m z i , то ввиду т о г о , что длина правой части из (51) больше длины левой , данное соотношение не имеет места в свободной группе, изучай Ш ) рассматривается аналоги­ чно, Допустим, что в соотношении (£>)))Ы > 1М . Так как то легко убедиться в том, что I v ,X h l K I , ?л= / где К ' * ; ' , Ц >|«|»'| ние (50) приведем к виду: нылолнив сокращения, ооотноше- OlUy -I г п г \ х * * > х ч. . . ~ и т „ х * (52) (63) Учитывая условие lay) и равенство 1п% = |г,Х#* , получим соотно­ шение 5 , ,, „ , x f x - v , x / ; * c , x wi e#< г ! где / л * / , /Ct/ь/л'/ Сортношение (52) имеет место в свободной группе.Как и в преды­ дущем случ ае, выполнены равенства U ) , либо ( ( ( ) * Пуоть имеют место равенства (О , тогда { • (К п Х ''и пН1Х ) к'1'пП1 Подставив вычисленные значения f и f j а ( 6 3 ) , получим откуда 1 Х+Х',цО л'|</Сл)(„('я+,) ( ',|, что невозможно* Допустим, что .имеют место равентсва * Тогда М С * * 5 ,Х,)к $ м 11 X J ^ X / Подставив в соотношение (ЬЗ) значение * и Н , получим, что , отсюда длина левой части равенства ( 68 ) меньше правой. (а4 ) Случаи или где Х = ХЛ'< п , также не имеет места в свободной группе. > (а 5 ) Пусть в соотношении (49) , < ftO и (Х(«|£|«{1 U»0 Из ограничений на|СЛ и соотношения (49) сл е д у е т, что *Х. Полагая в (49) Сл ШХ h » после сокращения получим соотношение Хи t ' f c w , X - f и * V * ^ +r X .,., (64) из которого сл ед у ет, что . Вычисляя значение Хя и подставляя его в ( 6 4 ) , можно убедиться в том, что данной соот­ ношение Не выполняется в свободной группе* У. Пусть В соотношении (7 ) L U *K = 1 , Сп жХ~' И (*д удой_ летворяет условию , , * , , л |irt*lCAl4»lfc-u t55) Случай, когда , сводится к ранее рассмотренным. Из (55) и соотношения (7 ) сл е д у е т, что ( , = £ , . Полагая С\=ХСЛ , где / « М л , 1 Ь Л Ч Ы я учитывая, что M * x i j. < H X 'i , \ m ( v< ) * 0