АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

А о*П& * + 0 , то B - O ^ A ^ N K (A0). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следует из ( 2 . 2 ) , ( 2 . 5 ) , ( 3 . 7 ) , ( 2 .6 ) и ( 2 .7 ) . Зафиксируем обозначение <Г , р , Q ,R и ^ , введенные в ( 4 . 8 ) , до конца доказательства теоремы I . ( 4 . 9 ) . Если вО А * * 1 , т о ^ - = 2 , Ва )кА * В а являет­ ся 2 -группой. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из ( 4 .8 ) следует, что при в 0 А ко * 1 группа к^Ог (К )/У „(А 0 ) • Однако HK (A 0 ) ;/ l c x g 0 . Поэтому /\ < С ^ )» 6 о ) а А0_ При этом R - циклическая -подгруппа группы # , содержащаяся в В . Из ( 4 .1 ) следует, что силовская 2 -подгруппа группы К не­ циклическая. Поэтому 9 = 2 . Так как элемент из В сопряжен с эле­ ментом из А * * то по ( 4 .7 ) О д, ( в ) £ В „ . В частности, R i B 0 Отсюда К= (Q * B „ ) \ A d . Допустим, что От(В0) ^ 1 • Согласно ( 2 .5 ) и предположению о минимальности контрпримера Q , найдется такое р е Х П Л ( В 0) , что р -элемент 6 0 ^ В п не содержится в ZCQ) . Пусть 5-С ^ (В 0), Из ( 3 . 7 ) , ( 2 .6 ) и ( 2 .7 ) имеем А !S$=Oc (S)Rs (CA( 6 t )) , где Т-ЛХСА( 6 ,)). В частности, силовская р -подгруппа группы S совпадает с си- ловской р -подгруппой группы /) . Таким образом, Рр *Ар и N p tS y tp C Q ) в силу ( 4 .5 ) и ( 4 . 4 ) . Из ( 4 .5 ) следует, что fyHphS. Из ( 4 .3 ) и теоремы 3 .4 в [ 22 ] сл едует, что С?А , что проти­ воречит ( 3 . 1 ) . Таким образом, 0 ^ (В о)~ 1 . Пусть p G Jt(B 0 ) \{ 2 } * 0 и 6 -э л е ­ мент порядка р из В * • Тогда •; «c«CeW и по ( 2 . 2 ) , ( 2 . 5 ) , ( 2 .7 ) , ( 2 . 6 ) и ( 3 .7 ) имеем С 'САСв)ВСА ( 6 ) - разрешимая группа и С “ Ог (С )Н с (С А( в » . где Нс (СА( в ) ^ С л ( 6 )\ В с- ПРИ этом из ( 4 .8 ) и доказанного выше следует, что только 2 -силовская подгруппа группы ОрСС) будет нециклической. Поэтому С - р -нильпотент- ная группа. Из ( 4 .6 ) сл еду ет, что С $(б)*Л /е (< б > ) . Поэтому силов­ ская р -подгруппа группы Ц циклическая и ее нормализатор сов­ падает с ее централизатором. По теореме Бернсайда ( Г10 , с . 22^) Ц- р - нильпотентна. Так как в этом случае Q 'A*Q - , то получа­ ем противоречие с ( 3 . 1 ) . Следовательно, Х ( В 0 ) = { 2 } . ( 4 . 1 0 ) . Если , то В ' О е (К )Х А 0 , где 0г (к)-.ихВ„ и U * K ' - элементарная абелева 2 -группа. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как RK(A 0 )/A 0 - циклическая группа, то в случае абелевости Q получим заключение ( 4 .1 0 ) . Поэтому пред­ положим, что Q неабелева. В этом случае г ‘ Z (Q * В о ) = В0 . Ш