АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

чение ( 4 .3 ) следует из леммы Бернсайда ( СИ , с . 228J ) . ( 4 . 4 ) . Если p e J L и N p * A p , то л/р - абелева метацикли- чеекая группа. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть р е Х , t i p * Ар и Ир не является абеле­ вой метациклической группой. Тогда из ( 1 .3 ) следует, что Hpei'^cQ ), Из ( 1 .8 ) следует, что Л^СА 'р)*:Н . В силу ( 4 .2 ) Л/ контролирует слияние элементов в Ир . Дусть F ~< x ~’ jc s / х , А * е Н Р , §>€-<?>. По теореме 3 .4 из [ 2 2 ] F -H p A Q 1 . Из ( 4 .3 ) следует, что если х , х * е И р . то х 9 * х * , г д е А е И и потому х ' х ^ х ' ^ е И ' ^ А ■ Таким образом, F i A p . Но тогда легко видеть, что Q ‘A • Из ( 2 .3 ) и минимальности контрпримера £ следует противоречие. ( 4 . 5 ) . Если р е Х и И р * Ар , то любой элемент 60 е в 0АИр слабо замкнут в Ир по отношению к Q . ДШАЗАТЕЛЬСТВО. Дусть 8 \ £ Ир для некоторого у е £ , где 80 е И р П В о • Подгруппа И р^А р Мв^пИ/j по ее выбору. По ( 4 .4 ) Ир - абелева метациклическая группа. Поэтому а , где а е й р • Очевидно, что < $ = а , в а ~г 1 , где а „ а г &А , 6 е В - Поэто­ му 8 oC,'t - ( 80 'ia ) a,e , В силу абелевости Ир и А<ьН подгруппа АИр является р -нильпотентной и [И р , А ] $ Ор(А ). Поэтому С ' = М в • ( 0 * ) ‘Гг - и/p б о • г» е а 3 , а * е О р ‘ (А ) . Отсюда 0} e B v = a t 8 gCt • T*u< как i 6 0 >o i 3 - 1 , то 0 /* Q Так как tis - р ' -элем ент, то 6 „ дг«У , откуда б * = 6 „ и а = / , так что ё о ~ 6 а. ( 4 . 6 ) . Если < Г еЖ ( в Л)\ Л и 6 0 & О# СВ0) , то из В 09 * 6 0* ( А * О следует, что В / - 6 0 , ДШАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть в * - & • 9 е £ * Очевидно, что Q где Or,ffse A t Вев . Поэтому d f ’*= g f * . Отсюда a fg 0 « а ц в ; для ’ подходящих QS jC(t е 4 . Так как 4 , - /•'-элемент, то О р в *'1 - также & ' -элем ен т. Отсюда - 60 . ( 4 . 7 ) . Если в * П А * * 0 , то Ох , ( в ) * В 0 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Дусть 8 * е А * для некоторого у с И . Тогда В Ч С 9 * 6 Ь * Н . Так как Ох , ( В 9)П А - 1 , то 0 ^ , ( в 9) изоморфна некоторой Подгруппе 8 0 * 8 ПИ . Отсюда Ож , ( В ) а В 0 . ‘з- ( 4 . 8 ) . Дусть < Г= Л (А В) , Р0 & PG Sy«r CK) . Тогда К--%‘Ш к(Р\ При этом НК( Р ) / Р - циклическая группа и Ик (Р )^ А а(И к(Р )П 8 ) i О ^ О о - Q x R , где /Я - ^ -г р у п п а ( простое чи сл о ), А - циклическая ^ '-г р у п п а . Здесь й либо циклическая группа, либо элементарная абелева, либо экстраспециальная группа, либо цент­ ральное произведение циклической и экстраопециальной группы. Если