АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

решимэя нормальная подгруппа группы Q . Пусть р е Л и Ар - силовская р -подгруппа группы А . Через tip в дальнейшем будем обозначать такую силовскую р -подгруппу группы V , что Ир (МрПВо)Ар , ( 4 . 1 ) . Ао - циклическая группа и не все инволюции из К пряжены при помощи А . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если А 0 - нециклическая группа, то из ( 2 .6 ) следует, что A «V . Но в этом случае 8 * А и Q=H , Пусть все инволюции из К сопряжены при помощи А . Так как 1 А 1 з1 С т о с/2 ) > то Из цикличности В и ( 2 .4 ) следует, что любая инволюция из Q сопряжена с инволюцией Т б К при помощи элемента из А , Отсюда Q'AC^CT) и по теореме I из С?] получим, что Т б S ((f) • Применение ( 3 . 1 ) , ( 3 .2 ) и 21 дает противоречие. ( 4 . 2 ) . ПА = 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть В е . В * Л А х для некоторого -Х б Q . Тогда А '= Ср(Во)^ С $ ( 6 >s. f / x . Так как С - единственная инво­ люция в 8 0 , а В - циклическая группа и А имеет в этом случае циклическую силовскую 2 -подгруппу, то Т - единственная инволю­ ция в А . Последнее противоречит ( 4 . 1 ) . ( 4 . 3 ) . Пусть р е Л и A p * H p 6 S y 6 p t § ) . Если Ир не яв абелевой метациклической группой, то И контролирует слияние элементов в Ир . Если Ир - абелева метациклическая группа, то lie , (Вр) контролирует слияние элементов в Ир . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть D - насыщенное пересечение Ир и НА R - Не, (Т>) . Предположим сначала, что 1 > *И р . Очевидно, что Ъ /ЪААр - циклическая группа. При этом /* 2 )О А р , так как А р П 2 ( // р ) * 1 • Если то D - нециклическая группа и (ЪПА р)П ( 1 >ПАр)У - / для некоторого у 6 R \ H . Отсюда Х>ПАР - циклическая группа, a D - метациклическая. Очевидно, что В /С р С Л , Ш ) * A u t Q S l 1 С2> ) ) эг Q l ( 2 , р ) . Та* как J5 - насы­ щенное пересечение, то Op‘t p (R ,) . Таким образом, RIDptp ( A ) вкладывается в ( р Ъ ( 2 ,р ) . Так как RfDp^pCn) имеет порядок, делящийся на р и неразрешима, то R/Op'tp ( p ) содержит . SM (2, р ) . Но тогда в с е подгруппы порядка р из £2.f ( £ ) сопря­ жены между собой, что противоречит ( 4 .2 ) ввиду SZ ,(D )O A p Ф 1 ф -Г 2 ,ГД )/ 7 8 с . Таким образом, можно счи тать, что D -N p . Так как 'р)< И для Ир , не являющейся абелевой метациклической группы, то можно счи тать, что Np - абелева метациклическая группа. Теперь заклю- 126