АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Цусть lA I= 0 (m o d 2 ) и A = С ^ (вв) . В силу ( 2 .3 ) K =ABS A „ t где А 0-СА (в е) . Иэ ( 2 .5 ) и минимальности контрпримера (? следует, что B 0 4 Z ( ( r ) . Поэтому A * Q и является разрешимой груп­ пой. Докажем теперь, что силовская 2-подгруппа группы К имеет циклическую подгруппу индекса 2 . Предположим, что Аа - примерная группа. Так как /Ог (А ) 1~ 2 по ( 3 . 6 ) , то Ог (А) 4 А0 • Отсюда /А 0/=2 и К=А0 ВАо . Теперь легко показать, что I K l d l i Z , откуда следует необходимое заключение. Пусть теперь < Г = $ (А 0 )ф { 2 ] и 2 = 0 ^ . ( К ) Так как 2 е < Г , то R -S iO (K ) . Положим K =K /R , A 0 ~A0 R fR , B = 6 R /R . Так как К - А й ВАв , то А -А 0 ВА 0 . Из ( 1 .2 ) следует, что A 0 - F c - подгруп­ па группы к_ . Из ( 1 .6 ) следует, что либо К=Н(А0), либо К - Р ( К ) 6 , либо К 'tF (K ) - группа диэдра удвоенного нечетного порядка ( Ог (К ) П А о - 1 и Ог (Х ) & в в последнем сл у ч ае). Теперь утверж­ дение о строении силовской 2 -подгруппы группы К становится очевидным. Отметим, что силовская 2-подгруппа S группы А имеет р о г- но 3 инволюции » f l € 03 (tk ) и )ffi • 1,3 ( 2 .4 ) сл едует, что любая инволюция группы Q сопряжена либо с инволюцией УбД0 , либо с $<РОлСВэ), Из ( 3 .6 ) (tV ) следует, что t Щ Ь . Поэтому любая инволюция группы X сопряжена с инволюцией р Если fiG Z C Q ) , то X имеет единственную инволюцию. Из ( 3 .6 ) ( а ) , ( 3 .5 ) и [2 1 ] получим противоречие. Значит, f i t Z(Q-) , Согласно ( 2 . 2 ) , где А ,< А . В силу минимальности Контрпример - Q группа Q C jв ) разрешима. Пусть ( Г -Ж ( А ,) и R - 0^, (c^ C fi)) . fipвменяя утверждение ( 1 .6 ) к С^(Ц)/к , полу­ чим, как и выше, что силовская 2 -подгруппа группы c f i) либо метациклическая, либо tweet абелеву метациклическую подгруппу и н д е к с а ^ 2 . Учитывая, что р содержится в центре некоторой силоВскЬЬ 2 -подгруппы группы (р , получйм противоречие е ( 3 . 6 ) . § 4 . Доказательство теоремы I В данном Параграфе завершается доказательство теоремы I . Согласно ( 3 .7 ) можно считать, что А - группа нечетного порядив, являющаяся абелевой T I - подгруппой группы Q=A 8 A , являющейся минимальным контрпримером к теореме I; R 0 ~ h/p(A ) , А 0 ~/V a ( S ) , Н~-С 1 ; Св 0 ) - А 0 в А п - разрешимая группа, X - минимальная иераэ-