АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

инволюция Ч сопряжена с инволюцией ; ( L\>) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что силовская 3-подгруппа группы А имеет порядок больше 2 . Из ( 3 .5 ) и (Х .7 ) следует, что тогда силовская 2 -подгруппа группы Q либо метациклическая, либо име­ ет метациклическую абелеву подгруппу индекса 2 . Таким образом, утверждение (<•«.) следует из ( с ) . Пусть силовская ^-подгруппа группы Q - метациклическая или имеет абелеву метациклическую подгруппу индекса 2 . Из резуль­ татов работ [ 1 6 - 1 8 ] и [ 9 ] следует, что L - - L H ( L ) изоморфна Р £ Ь (3 ;С }), PSUC3,C j,2) ( ^ нечетно), A f , М„ или P S b ( 2 ,ty ) . Группы А-, , М ц и - P S jj (?,<}) исключаются с помощью ( 3 . 3 ) , ( 3 .4 ) и ( 3 . 5 ) . Пусть L = P S l ( З а ) или P S U (3 / Cj/ i ) ( н ечетно). Положим 6 = 1 в первом случае и £ = -■/ во втором случае. Из(Г12 , C.3I6J) и звестно, что'мультипликатор Еура группы L имеет порядок Поэтому силовская 2-подгруппа группы L изоморфна силовской 2 -подгруппе группы L . •Если Аг П1>=*1 , то централизатор инволюции из А нераз­ решим при <^.>3, что сразу приводит к противоречию. При ^ = 3 прямые вычисления в группе Q при -L = PSbC3j i ) или liP S U Q S 1) приводят к противоречию. Значит, А г Р Р ж1 , Легко проверить, что в этом случае инволюция 'J централизует четвертую подгруппу в А , что приводит к противоречию с цикличностью N !А . Утверж­ дения ( t ) и ( LL ) доказаны. Итак, А г =< \) > имеет порядок 2 . Очевидно, что Пусть - силовская 2-подгруппа группы Q , содержащая , Если Юг (в0)1 = 2. , то ICT(V )I= 4 . По теореме 5 .4 .5 из Гб] Т -ме­ тациклическая группа, что противоречит { с ) . Значит Юг ( в 0)1 > 2 , Так как из )/ не извлекается в Q корень квадратный, то инво­ люция ^ не сопряжена с инволюцией J3 из В а . Пусть 5 - 1/г (Иг ). Очевидно, что < v ^ x < y 3 .> < S и С&( ]>) ^ /V* , Отсюда легко следу­ е т , что элементы ^ и сопряжены, что доказывает (Ш - >. Так как Т - не метациклическая группа, то существует Чет­ верная подгруппа (см . Г5 , теорема 5 .4 .Ю ) . При этом / Т ; Cr (W ')l= 2 и V& C T (W ) . По трансферлеммв Чункхина-Томпсона ( [ 2 0 , с . 75) инволюция V сопряжена с ин­ волюцией Г б С т( IV] . Так Как < Г , W > не может быть элементар­ ной абелевой группой порядка 6 , то Ге»у , Но тогда Cj-C t) Имеет индекс 2 в Т . Так как Г сопряжена с \) , то/Г, л^/<2 , что противоречит ( l ) . ( 3 . 7 ) . I A l s K m o c U ) .