АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

группа. Из ( 1 .7 ) сл еду ет, чтолибо силовская 2-подгруппа группы £ имеет порядок * 8 , либо Н -соб ственн о е 2 -порожденное ядро группы Q . В последнем слуше Пи * T eS y& A ( P ) и А/ПЬ - собственное 2-порожденное ядр группы X . По теореме Ашбахера [13] X ^ Р $ Ь ( 2 ,у К у .» 5 ) \ P S U ' 3 ,( fi, S gC q .) ( q. - степень двой­ ки); М ц или J r . Если силовская 2-п о д гр у та группы 1 /2 ( 1 ,) порядка < 8 , то по теореме Уолтера и Z 9 1 X / 2 P ) изоморфна J , , A t, С г ( у ) или P S l ( 2 , q ) . Предположим сначала, 4 TC/V/ 7 X - собственное 2-порожденное ядро группы X . Тогда из ( 1 3 ) следует, что силовснад 2-п од­ группа Т группы X содержится в A//1L . При этом Т имеет нормальную абелеву подгруппу с циклической фактор-группой. Поэто­ му X * p S b (2> </), М„ или J . Группы PSM ( 2 , q ) отпадают в силу ( 3 . 4 ) . Поэтому X з J i ии М„ . В группе J t централиза­ тор любой инволюции неразреппм, в то время, как ТП 4 г Ф 1 , что исключает эту группу. Из [ 1 4 ! известно, что O u t(M „ ) = 1 . Поэ­ тому X - £ . Так как центрашзатор инволюции в X изоморфен (?Х ( 2 , 3 ) , то М /< 8 . Из н ер аен ства !С ,Ы 1А1г /в1 следует проти­ воречие . Таким образом, в дальнейем можно считать, что силовская 2-подгруппа группы L / 2 /J.) имея порядок 8 и X / W x ) = J i , А 7 или sQz (q ,) (Группы P S P ( 2 ,у) исключены по ( 3 . 4 ) ) . Мультипли­ каторы Шура групп J , и тривиальны ( Г12 , с .3 1 6 -3 1 7 5 . Поэтому для групп J , и q ) L /Z (M ) - - l . Кроме то го , для X = Х, и ( <q) и звестно, что O u t а ) - группа нечетного порядка ( [ 1 4 ] , [12 , с . 3 1 7 - 3 1 $ . Отсюда и иг неразрешимости централизаторов ин­ волюций в указанных группах «медленно следует, что А ^ - 1 . Дбе- левы подгруппы этих групп та и е известны ( [ 1 4 , 1 5 ] ) , откуда легко сл едует, что Q не об;адает факторизацией вида A SA с циклической подгруппой В . Еши P / K L ) = А ? , то нетрудно про­ верить, что неразрешимая груша Q /Z (Q ) £ S ? также не обладает факторизацией с абелевой шццруплой А и циклической подгруп­ пой в . ( 3 . 6 ) . Пусть ! A t - 0 ( m d 2 ). Тогда выполнены следующие ут­ верждения: ( i ) силовская 2 -подгртша группы £ не является метацкк- лической и не имеет метациклмеской абелевой подгруппы индекса 2 ; ( и ) Аг = < ^ > имеет юрядок 2 ; U u ) /Ог (в0)1 > 2 , инволюшя р из в 0 не сопряжена с V ,