АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

Из теоремы Диксона ( [ 4 , с . 2 1® следует, что в этом случае 4 * 6 и L - A 8 A *A B 0 - разрешимая группа вопреки ее выбору. Значит, можно считать, что А - циклическая группа. Тогда q - - p - I T l и и , П в 1 - С ( р ~ 0 * где теоремы Диксона ( Г 4 , с . 2 1 ® и полученного выше сл едует, что и ■ этом случае 8 0 ~ в , а тогда Q - разрешимая группа. Итак, либо й е '{ 4 ,9 ] , либо A p O l' - f . Если у, ■= 4 или 9 , то G/ZCQ) изоморфна A s , Sf , Ав или S 6 . Нетрудно п оказать, пользуясь неравенством /_£/<М 7 в /в/_ • что QAZCQ) не представима в виде произведения АВА , где А - абел ева, Я - циклическая группа. Теперь A p H L *-/ и A f i t - абелева р ' -группа. Из теоремы Диксона следует, что А Ш - циклическая группа порядка, делящего у ± 1 . При атом МГ)Ь также будет р ‘ -группой. Так как Q - I A и любой автоморфизм t , индуцированный ав­ томорфизмом поля, централизует нетривиальный р -елемент из t , то £ /? (£ ) изоморфна P S I (2, l J/) или <р) , При этом A K 0 /Z (Q - р '-подгруппа группы Q /K Q ) и, следовательно, имеет порядок, делящий у д / . Абелевы подгруппы группы P Q t ( 2 ,( j ) порядков a + i и у - / являются ее 7 7 -подгруппами. Таким образом, Q /ZCQ ) удовлетворяет условию теоремы I . Так кая Q - мини­ мальный контрпример к теореме I , то P S t ( 2 , q , ) = t z q a p Q jj( 2 \ q,)t Очевидно, что ^ g (A )-B 0 имеет порядок 2 и потому I 8 I - четное число. Если ср четно, т o lB l= 2 , откуда следует, что Q = АВА = * ABaAs А &0 - разрешимая группа вопреки ее выбору. Значит, у - нечетное число, ф и этом А?/* где С * 1/2 в случае, когда Q * t и С - 1 , когда <^3 P Q l ( 2 , f ) , Если t * Q , то M / s Jr/y + £) , / 8/ < .4rfy у-У) . Поэтому /<?/” ♦ что невозможно, ибо у-> 3 . Итак, <? зг p q jjC z , ^ ) . Нетрудно убедиться, что в этом случае IA I-I& I - у + 1 . Пусть Т - инволюция из В 0 . Из факторизации $ ' А 8 А и ( 2 .2 ) следует, что С<.(Т)--А 0 в А 0 , г д е / A j •!САС С )^ 2 • Поэтому / а :С е С П 1 ^ ^ - ( д . г 1 ) г • С другой стороны, ГС$(Т) 1 - Щ л f) что невозможно. “ J ( 3 . 5 ) . Аг - циклическая группа и порядок 2 -силовской Ы /£ ( 1 ) больше 8 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим противное. Если Аг -нециклическая, то в силу ( 3 .3 ) Q *A j L s A u t ( t ) , где 7 - простая неабелева 122