АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

г;-подгруппы из J , 1 * J jg , то С Л З ) - ' L , , что также приводит к про­ тиворечию. Итак, для любого p e J i силовская Р -подгруппа группы А име­ ет порядок р . Из доказанного выше следует, что 2 , =Х , . От­ сюда к = I, то есть M --L , - кваэипростая группа. ( 3 . 2 ) . 5 (Q )-~ Z (Q X B 0 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из ( 1 .6 ) и ( 3 .1 ) следует, что RQ-) - абелева группа и f А : C a (F (Q )V 6 2 . Пусть R *■ Сс<( F (Q )) • Так как Q /R *A 8 A , где A '-A P /R ^ A /C /P W ) и й - 8 R /R - В / 8 0 R , то по теореме 2 Q/R - разрешимая группа. Если АИР(Q )*'/ , то и /? -разрешимая группе, откуда Q разрешима. Значит, 1 -А ОF (Q ) =[A,F(Q)]. Из ( 3 . 1 ) следует, что G f~R , то есть • В силу известного свойства разрешимых групп S ( Q ) fl Ci (F (Q ’>) ~ F(G ) ( Г 53» теорема 6 .1 .3 ) . Отсюда следует, что S (Q ) 3 F ( G ^ i l Q ) . Так как S(Q )--Z ((;HN --Ав 0 и $ -А&А , где 5 - циклическая группа, то из ( 3 .1 ) и условия на А легко следует, что £(£)■$ В„ . ( 3 . 3 ) , Если А - нециклическая группа, то X - простая не­ абелева группа и Q-=LA s.A u t(M Доказательство следует из ( 2 . 5 ) , ( 3 .1 ) и ( 3 . 2 ) . (ЪА ) .-L / £ ( Ь ) не изоморфна PSM(2,ip)t где С ^ -рт > 3 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как мультипликатор Шура группы P S U 2 ,if) имеет порядок (R '~ 1 ,2 ) за исключением случаев, когда Cj => 9 или у - 4 ( [1 2 , с .3 1 ф , то либо X, = S M 2 , p , либ o J,'P SM (2 ,t}) , либо ^ .£ { 4 ,9 } . Пусть сн ач ел а^ ё{4,9 } . Положим Т -ЬП А р и R - ^ р П Ь . Допус­ тим, что Т *1 . Из ( I . I) следует, ч т о R /T - циклическая группа. Из абелевости силовской р -подгруппы группы X следует, что R s S y C p t l .) . Пусть и R * T . Тогда I R / T l * p и ' ’D\/VJj( T ) rt 0 . Так как Т является -подгруппой группы 2 , то из ( 1 .6 ) получим /Р 1 = р г -с^.. Учитывая, что D /ZC L ) - группа Фро- бен’иуса порядка £ < f ,( c f .- 0 , где <5 ■ 1/2 Для нечетного ^ и <5 • I для четного Cjy , полним противоречие, так как /VL ( f ) / r - нецикли­ ческая группа. Итак, при Т + 1 можно считать, что R * T q Ау В р ( - Р ) . Так как A h -Q , то любой элемент а е А - Р централизует силовскую р -подгруппу группы X и поэтому вызывает внутренний автоморфизм X . В частности, Q ^ A l -S(Q)M по ( 3 . 2 ) . Если А - нецикли­ ческая группа, то из ( 3 .3 ) следует, что § - Ь . Так как IRq (A)l r IA //S 0I « то J 8 o l ~ £ ( y - 0 для определенного выше £ .